เรื่องลึกลับทางคณิตศาสตร์ กับ Benford’s law

    เห็น Blog มันว่างๆก็เลยหาอะไรมาใส่ซะหน่อย คราวนี้ของเป็นเรื่องของ ความลึกลับอย่างหนึ่งของงานทางคณิตศาสตร์เลยก็ว่าได้ ไม่เชื่ออย่าลบหลู่ เรื่องที่ทำให้เกิดข้อถกเถียงกันอยู่พักนึงถึงเรื่องความเป็นจริงซึ่งขัดกับสามัญสำนึกของเราๆ ท่านๆ กันนะครับ

     เรื่องราวมันก็มีอยู่ว่าถ้าเรามีข้อมูลเชิงปริมาณของอะไรซักชุดหนึ่งตามธรรมชาติ (ให้มันมีความแตกต่างเรื่องหลักกันหน่อยก็ดีนะ) จากนั้นเราก็เอาข้อมูลนั้นมาทำการนับจำนวนเลขหลักหน้า เช่น 1432,177,189 เลขหลักหน้าคือ 1

ดูให้ครบทุกจำนวนในชุดข้อมูล เพื่อที่จะดูว่า มีเลขอยู่กี่ตัวที่มีหลักหน้าเป็น 1 กี่ตัวที่หลักหน้าเป็น 2 ................... และกี่ตัวที่เลขหลักหน้าเป็น 9 เมื่อคุณทำจนเสร็จคุณคิดว่าผลที่ออกมาได้จะเป็นอย่างไงละครับ

      คำตอบตามสามัญสำนึกของคนหลายๆคนก็คงคิดว่าจำนวนของ ข้อมูลที่ขึ้นต้นด้วยเลขตัวไหนๆ ก็คงจะมีอยู่จำนวนเท่าๆกันสินะครับ แต่จริงๆแล้ว ไม่เลยครับ

     ตามกฏของเบนฟอร์ด บอกไว้ว่า จำนวนข้อมูลที่ขึ้นต้นด้วยตัวเลขหนึ่งจะมีจำนวนมากที่สุด และจะมีมากถึงประมาณ 30 % ซึ่งจริงๆแล้วควรจะเป็น 11.11% (หรือ หนึ่งในเก้า) และจะน้อยลงเรื่อยๆตามจำนวนตัวเลขที่เพิ่มขึ้นจนถึงเลข 9 อาจจะเหลือเพียงประมาณ 5%

ครั้งแรกที่ผมอ่านเรื่องนี้ก็คิดว่าในใจว่า “นี่มันทฤษฏีลวงโลกอะไรกันนี่ ก็มันจะเป็นจริงได้อย่างไง”

แต่มันก็ต้องมาลองให้เห็นกับตาตัวเองซักหน่อย แล้วความจริงที่หน้าตกตะลึกก็ปรากฏต่อหน้าต่อตา ทำเอาขนลุกกันเลยทีเดียว

ไม่เชื่ออย่าลบหลู่ครับ ไปลองดูด้วยตาตัวเองสิ

จำนวนประชากรในประเทศต่างๆทั่วโลก 224 ประเทศ

อันนี้ของมูลจริงจาก Wikipedia

จะเห็นได้ว่ามีจำนวนที่ขึ้นต้นด้วยเลขหนึ่งถึง 64 จำนวน จาก 224 จำนวน คิดเป็น 28.5 % ในขณะที่จำนวนที่ขึ้นต้นด้วยเลข 9 มีเพียง 7 จำนวน หรือ 3.1 % เท่านั้นเองครับ

ความน่าจะเป็นที่ข้อมูลหนึ่งจะมีตัวเลขหลักแรกเป็น n

กฏของเบนฟอร์ด บอกไว้ถึงฟังก์ชั้นแจกแจงความน่าจะเป็นของความน่าจะเป็นออกเป็นฟังก์ชัน log ตามนี้ครับ

ซึ่งถ้าเป็นไปตามสำนึกของเราๆก็จะเป็น

แฮปปี้คนเลี้ยงหมู

เรามาต่อกันด้วยอะไรที่มันใกล้ตัวเราเพิ่มขึ้นไปอีกดีกว่า หลายๆคนคงเล่น หรืออย่างน้อยก็เคยรู้จักเกม แฮปปี้คนเลี้ยงหมู กันมาบ้างนะครับ(สมัยนี้ไม่รู้ก็ ไม่รู้จะพูดไง) พอเวลาเปิดดูลำดับยอดเงินของเพื่อนเราแต่ละคนมีใครได้เคยสังเกตเห็น ความเป็นจริงทางคณิตศาสตร์ตรงนี้มาก่อนบ้างไหม อันนี้เป็นข้อมูลคอกหมูจากเพื่อนของผม 102 คน

พอเราเอามาแยกตามเลขหลักหน้าก็จะได้เป็น

 ได้เป็นกราฟหน้าตาเป็นแบบนี้

 พอเรามาเทียบกับก็ของ Benford กับตามจิตสำนึกเรา แบบเป็นร้อยละก็จะได้แบบนี้

 โดย
สีฟ้าเป็น เปอร์เซ็นต์ข้อมูลจากแฮปปี้คนเลี้ยงหมูของผม
 สีแดงเป็น เปอร์เซ็นต์ข้อมูลตาม Benford's Law
สีชมพูเป็น เปอร์เซ็นต์ตามจิตสำนึกของเรา


จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าแนวโน้มมันไปตาม กฏของ Benford จริงอย่างน่าประหลาดใจ

ถ้ายังไม่พอใจ เป็นคนแบบผมที่ไม่ยอมเชื่ออะไรง่ายๆ ก็ลองดูเพิ่มก็ได้นะคับ

ลองนับจำนวนกันดูเล่นๆ จนกว่าจะพอใจ

ความสูงของตึกต่างๆในโลก
ความยาวของแม่น้ำสายต่างๆในโลกนี้
จำนวนเหยื่อในคดีดังๆ
จำนวนผู้ใช้งานของ Social Network ต่างๆ



 

แล้วเราจะเอาความรู้เรื่องนี้มาใช้ประโยชน์อย่างไงละ

หลักๆเลยนะครับ ในกรณีที่มีข้อมูลที่มีที่มาตามธรรมชาติ อย่างหนึ่งแต่ข้อมูลนั้นมีการแจกแจงตัวเลขหลักหน้าแต่ละเลขนั้นดันมีจำนวนเท่ากัน เราก็จะรู้ได้ทันทีเลยว่าข้อมูลนั้นเป็นของปลอม เพราะเวลาคนเราส่วนใหญ่ปลอมข้อมูลก็จะสุ่มตัวเลขไปเรื่อยๆ ไม่ได้ใส่ใจกฏข้อนี้

อีกอย่างนึงคือเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ยังใหม่อยู่ พึ่งค้นพบกันในรอบร้อยปีนี้เอง เจ้าของกฏนาย Frank Albert Benford เองก็ทำไว้เมื่อปี 1938

จึงเป็นสิ่งที่น่าคิดว่าเรื่องที่ไม่น่าจะยากอย่างนี้ทำไมถึงไม่มีใครใส่ใจกันเลยหรือ......น่าสงสัย