Mathminton: คณิตศาสตร์กับการผูกเชือกร้องเท้าแนวๆ

เราผูกเชือกรองเท้ากันมาหลายศตวรรษแล้ว เราผูกมันในแบบเดิมๆ แต่จะมีซักกี่คนที่จะคิดนอกออกไป และถามตัวเองว่าวิธีไหนละที่เราจะผูกเชือกรองเท้าได้ดีที่สุด?? ความจริงแล้วปัญหานี้ถูกเริ่มขึ้นมาหลายสิบปีที่แล้ว วันนี้เราจึงจะขอมาเล่าให้กันฟัง

จากผลงานเขียนของ Burkard Polster ในมหาวิทยาลัย Monash University ประเทศ Australia สิ่งที่เขาได้ให้ความสนใจถึงคือ ปัญหาว่า ผูกเชือกรองเท้าแบบไหนประหยัดทรัพยากรเชือก และแบบไหนให้ความเข็งแรงมากที่สุด โดยให้เงื่อนไข ในแต่ละกรณีและลงมือพิจารณา ผมก็ได้ลองอ่านและศึกษาต่อมา ตอนนี้ก็มาเล่าสู่กันฟัง

เริ่มแรกเราก็ต้องมาดูขอบเขตที่เราศึกษากันก่อนนะครับ

อันดับแรกคือรองเท้า

แน่นอนครับรองเท้าที่เราสนใจต้องเป็นรองเท้าเชือกหรือ รองเท้าแบบมีรูร้อยเชือกและ

เราจะให้มีรองเท้ามีรูร้อยเชือกทั้งหมด 2(n+1) รูแบ่งเป็นสองแถว คือ A และ B มีระยะห่างกัน w รูร้อยเชือกเป็น

แต่ละรูในแถวเดียวกันก็ห่างกัน v

ต่อไปก็คือการร้อยเชือก

ความจริงแล้วการจะผูกเชือกรองเท้าไม่ได้มีกฎอะไรตายตัวนักนะคับ แต่ถ้าเราเอาเชือกรอยซักหูสองหูแล้วผูกปม มันก็ไม่ค่อยเป็นการพวกเชือกรองเท้าที่ดีเท่าไรนักนะครับ เราก็ต้องมีกติกากันนิดนึง ว่า
      1. การผูกเชือกรองเท้านั้นจะต้องผูกให้ทุกรูได้มีเชือกผ่าน
      2. แต่ละรูมีเชือกผ่านได้แค่ครั้งเดียว
     3. จุดจบ กับจุดเริ่มต้องมาอยู่ด้วยกัน
      4. เชือกที่ผ่านรู I ใดๆ จะต้องไม่ไปต่อที่รูในแถวเดียวกันทั้งสองฝั่ง(เข้ารู I และออกรู I)

และถ้าเป็นเช่นนั้นเราก็จะได้จำนวนการผูกเชือกรองเท้าจากคอมบินาทอริกเบื้องต้นว่า

เมื่อ m = n/2 ตอน n เป็น คู่ m=(n+1)/2 เมื่อ n เป็นคี่

และเราจะขอเรียกการผูก ที่มีการสลับหลักทุกครั้งว่าเป็นการผูกแบบแน่นหนา (dense lacing) และคำนวณจำนวนการผูกได้เป็น

เช่นถ้ามี รูอยู่ 14 รู จำนวนก็จะเป็น 382 838 400 วิธี

ต่อไปคือผลงานของ John H.Halton นะครับ ชื่อเรื่องว่า The Shoelace Problem เขาได้ยกตัวอย่างรูปแบบการผูกเชือกรองเท้าไว้สามแบบแล้วเรามาลองดูตามไปนะครับ

American,Zig-zag,lacing

ได้ระยะเชือกเป็น

European,Straight,lacing

คำนวนระยะเชือก

Shoe-shop, quick, lacing

ได้ระยะทางเชือก

ความจริงเราอยากจะรู้ว่าอะไรดีกว่าอะไรเราก็ลองๆ ทำดูทุกแบบซะเดี๋ยวก็รู้
แต่คำถามที่ตามมาคือ ถ้าไม่ใช่รองเท้าคู่นี้มันจะยังดีอยู่หรือป่าว

จากการทดลองแทนค่าเล่นๆ เราจะพบว่า

L_AM< L_EU< L_SS

ต่อไปจะทำการพิสูจน์ว่าสิ่งที่ทำนั้นดีที่สุด จริงหรือไม่
ทีละกรณี
ถ้า n=0 หรือ n=1 จะผูกอย่างไงมันก็คงไม่ต่างกัน เพราะมันไม่มีรูพอจะร้อยอะไร

ถ้า n=2 ในกรณีนี้เราจะได้

ที่เหลือก็แค่พิสูจน์เทียบกรณี L_AM< L_EU ว่าแล้วก็เริ่มลงมือพิสูจน์
โดยใช้ความรู้เรื่องอสมการเบื่องต้นในการพิสูจน์ และก็เงื่อนไขเล็กน้อยว่า w>0 , v>0

L_EU> L_AM

จบไปเรื่องกรณี n=2

บางคนอาจจะสงสัยว่า อสมการยกกำลังสองอยู่ดีดี ทำไมเราถึงถอดรากที่สองทั้งสองข้างได้ละ???
      - ต้องมาทำความเข้าใจกันหน่อยนะครับว่าโดยปรกติแล้ว อสมการเวลามันมีอะไรยกกำลังสองทั้งสองด้าน
มันจะต้องเกิดเป็นสองกรณีเช่น ถ้า a,b,c>0 และ (a-b)^2 >c^2 แล้วจะได้ว่า a-b>c หรือ b-a>c
อ้าาวว เป็นก็ถ้ามันต้องแยกเป็นสองกรณี แล้วทำไมข้างบนถึงยังทำแค่กรณีเดียวอยู่อีกละ
     - ก็เนื่องด้วยว่า เงื่อนไขที่เรากำหนดให้มาทำให้อีกกรณีนั้นเป็นไปไม่ได้ทันที (ไม่เชื่อไปลองทำกันเองดูก็ได้)
      ทำให้เราเหลือกรณีเป็นไปได้แค่ทางเดียว อย่างไงละ

ต่อไปกรณี n>2

จากตรงนี้เราจะได้ว่า (n-2)>0 , (n-1)>0

และเริ่มด้วยบันทัดที่ห้า ของการพิสูจน์ด้านบนแล้วลงมือพิสูจน์

L_EU< L_SS

สำเร็จเกินครึ่งทางแล้วครับเรา

L_AM< L_EU

เป็นอันว่าจบครับ เราสรุปเลยละกัน American,Zig-zag,lacing สั้นที่สุดไม่ว่าจะกรณีไหนๆครับ

เสร็จจากเรื่องการพิสูจน์แล้วก็ตามมาด้วยวิธีการผูกเชือกร้องเท้าแบบแนวๆ
จะเอาไปผูกเชือกรองเท้าผ้าใบเดินสบาย หรือจะลองเสี่ยงตายผู้เชือกรองเท้านักเรียนดูก็ได้ เก๋ดี