คณิตศาสตร์กับลูกบาศก์แห่งรูบิก

หลายคนคงรู้จักลูกบาศก์รูบิก ของเล่นฝึกความคิด ที่เป็นลูกบาศก์แบ่งเป็นช่องเล็ก 3*3*3 แต่ละช่องก็มีสีหนึ่งสีจาก 6 สี และบิดไปบิดมา (บางคนก็เรียกกันว่า ลูกบิด แต่เราชอบเรียกว่า THE CUBE ) ยิ่งเล่นยิ่งปวดหัว
มันฝึกการมองภาพสามมิติ และการวางแผน
และที่สำคัญเวลาเราเล่นแล้วมันรู้สึกเท่ห์ เท่ห์เวลามีคนมามองเราปั่นไปมา เหมือนเราอัจฉริยะ (ซึ่งจริงๆ แล้วอาจจะไม่ ฮ่าๆๆๆ)

เอาหละเข้าเรื่องกันดีกว่า เราจะมาพูดถึงคณิตศาสตร์บนลูกบาศก์
บางคนเล่นปั่นไปปั่นมาก็อาจเกิดข้อสงสัยอยู่ว่า เอ้... รูปแบบการสลับสับเปลี่ยนบนรูบิกคิวบ์ นี้มันมีกี่แบบกันน้าาา

ตรงนี้คำตอบของมันคือ 4325200327448956000

วิธีการที่จะหาคำตอบก็คือ ต้องทดลองดูซะหน่อยครับ
ถ้าคนที่มี Rubik's cube อยู่ในครอบครอง ก็ลองเอามันมาแกะทำลายออกมาเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อย (คือมันมีวิธีแกะของมันนะครับ อย่าใช้แต่กำลังอย่างเดียวมันกลับเดี๋ยวมันคือนสภาพเดิมไม่ได้) เราจะพอรู้ว่ามันประกอบจากชิ้นส่วนสามประเภท นั้นคือ แกนกลาง 1 ชิ้น ชิ้นส่วนมุม 8 ชิ้น ชิ้นละสามสี ชิ้นส่วนขอบ 12 ชิ้น ชิ้นละ  2 สี

และลองประกอบเป็นลูกเข้าเหมือนเดิม ให้สีเดียวกัน อยู่ด้านเดียวกันให้หมด จะสังเกตได้ว่าเราจะประกอบได้เพียงวิธีเดียว และถ้าเราลองสลับชิ้นส่วนที่เป็นด้านให้ผิดไปหนึ่งชิ้น และทดลองใช้วิธีการบิดให้กลับมาอยู่ในหน้าปกติอย่างเดิม จะเห็นว่ามันทำไม่ได้ (ต่อให้เป็นเซียนเก่งระดับโลกอย่างไงก็ทำไม่ได้) ต่อมาลองสลับส่วนที่เป็นด้านให้ผิดไป สองด้านมันจะบิดกลับมาเป็นรูปปกติได้ พอสามด้านก็จะกลับมาไม่ได้ และเป็นสลับกันไปเรื่อยๆ  แบบนี้

ถ้าเราลองประกอบส่วนที่เป็นด้านแบบมั่วๆ มันก็จะมีโอกาสเพียง 1/2 เท่านั้นที่จะกลับคือแบบปกติได้ (จริงๆแล้วมันมีวิธีการใช้ทฤษฏี Vector ในการพิสูจน์ปัญหานี้แต่ด้วยความขี้เกียจของคนแต่ง อุ่ย...ไม่ใช่ ด้วยความกลัวว่าจะอ่านแล้วไม่เข้าใจกัน)

ว่าแล้วก็ลงมือคำนวณครับ
ชิ้นส่วนที่เป็นด้านมีอยู่ 12 ชิ้น  แต่ละชิ้นประกอบคืนได้ 2 แบบ (เพราะมีสองด้าน) ก็ได้ 2^12 และนำมาสลับตำแหน่ง เหมือนกับสลับในแนวเส้นตรง ได้ 12! วิธี แต่มีเพียง 1/2 ที่ประกอบคืนได้ สรุปแล้วได้ (2^12*12!)/2

ทีนี้เราจะมาดูที่ชิ้นส่วนที่เป็นมุมบ้าง ถ้าเราเผลอทำชิ้นส่วนที่เป็นมุมหลุดแล้วประกอบใหม่ มันจะประกอบได้ตั้งสามแบบ แต่จะมีเพียงแบบเดียวที่สามารถกลับมาเหมือนเดิมได้ ส่วนมุมนี้จะคล้ายกับด้านแต่มันยากกว่า เพราะจะมี ถูก, ผิดแบบที่ 1, ผิดแบบที่ 2 ต่อการต่อมันแต่ละชิ้น
ถ้าเราต่อมันมั่ว ทัง 8 ชิ้น แล้วโอกาสที่จะบิดคืนได้ก็จะมีแค่ 1/6

ว่าแล้วเราก็ลงมือคำนวณอีกครั้ง
ชิ้นส่วนที่เป็นมุมมีอยู่ 8 ชิ้น  แต่ละชิ้นประกอบคืนได้ 3 แบบ (เพราะมีสามด้าน) ก็ได้ 3^8 วิธี และนำมาสลับตำแหน่ง เหมือนกับสลับในแนวเส้นตรง ได้ 8! วิธี แต่มีเพียง 1/6 เท่านั้นที่ประกอบคืนได้ สรุปแล้วได้ (3^8*8!)/6

รวมกันทุกชิ้นส่วน(คงไม่ต้องสนใจส่วนที่เป็นแกนกลางเพราะไงก็คงสับเปลี่ยนไปไม่ได้)

((2^12*12!)/2 )*((3^8*8!)/6)=4325200327448956000 แบบที่สามารถบิดกลับคืนได้


เรื่องราวของ Rubik เพิ่มเติม
อัพเดทกันหน่อย (2008) แค่ 25 ครั้งก็แก้รูบิคได้ทุกแบบแล้ววว
อัพเดทล่าสุด (2010) แค่ไม่เกิน 20 ครั้งก็แก้ได้ทุกรูปแบบแล้ว