[Relativity:2] Galilei Transformation

     ต่อกันด้วยความพยายามอธิบายเรื่องยากๆ อย่างทฤษฏีสัมพัทธภาพให้เป็นเรื่องง่าย พอจะได้ใจหลายๆคน กันนะครับ

     คราวที่แล้วเราจบกันไปที่เรื่อง กรอบอ้างอิงที่ ในเมื่อเราต่างกันต่างมีกรอบที่ต่างกัน ความเร็วก็ต่างกัน คำถามที่ตามมาก็คือ พอจะมีหนทางอะไรมันในการทำให้เรารู้เหตุการณ์ในแบบของตัวเอง แล้วสามารถรู้เหตุการณ์ในแบบของคนอื่นด้วย คำตอบก็คือ แน่นอนมันต้องมีทางสิ แต่ทางไหนและทำอย่างไรมันถึงจะถูกต้องละ

     ย้อนกลับมาสู่เรื่องของคราวที่แล้วครับ สมมุติเรามีเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น มีรถ มีคนในรถ มีต้นไม้ มีลูกบอล และรถกำลังเคลื่อนที่เข้าหาลูกบอลจนกระทั้งทันลูกบอลในที่สุด

     ถ้าเป็นมุมมองของผู้สังเกต A (ต้นไม้) เราก็จะเห็นรถวิ่งห่างออกไปจากตัว เช่นเดียวกับลูกบอล แต่รถนั้นเร็วกว่าในที่สุดก็ทันลูกบอล

     แต่ถ้าหากเรามามองในแบบผู้สังเกต B (รถ) เราก็จะเห็น ต้นไม้หนีเราไปข้างหลังอย่างรวดเร็ว และลูกบอลค่อยๆ เลื่อนเข้าหาตัวเราอย่างช้าๆ..

     จากตรงนี้เราจะได้สอง Diagrams ที่เรียกว่า spcetime diagrams จากผู้สังเกตสองคน ลองหาความสัมพันธ์โดยเริ่มจาก เราลองสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสระยะทางและเวลาขึ้นมาบนกรอบของ รถ แล้วมองจัตตุรัสนั้นใหม่ในมุมมองของ ต้นไม้

เราก็จะเห็นมากลายไปเป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่ต่างออกไป แต่สิ่งที่ยังคงรักษาไว้นั้นก็คือพื้นที่ของมันเมื่อ ฐาน คูณ สูง ค่าที่ออกมาก็ยังคงเท่าเดิมไม่เสื่อมคลาย หรือทั้งสองคือสิ่งเดียวกันต่างกันที่มุมของพิกัดที่ทำนั้นเอง

     การพิจารณาแบบนี้เราจะเรียกว่า Galilei Transformation.(ไม่ต้องบอกก็รู้เลยว่าใครคิด ) มันสร้างมาจากแนวคิดพื้นฐานของความเข้าใจของเรา และทำให้เรื่อง ความแตกต่างบน spacetime diagram นี้ เป็นเรื่องง่ายขึ้นมาทั้นทีเลย นั้นคือให้เวลาของทุกสิ่งบนโลกที่ผ่านไปแบบเท่ากันตลอดเสมอ หรือ t=t’ มันก็จะทำให้เราสามารถบอกได้ทันทีเลยว่า (x,t)   จะกลายไปเป็นอะไรบน (x’,t’)  เช่น ในกรณีนี้ รถออกห่างจากต้นไม้ วินาทีละ 1 เมตร (u=1) ให้จุด A เป็นตำแหน่งของลูกบอลในเวลา t=3 ต้นไม้จะบอกว่ามันอยู่ห่างจากตัวเองไป 4 เมตรแล้ว ส่วนรถยนต์ซึ่งตอนนั้นห่างจากต้นไม้ไปแล้ว u t=3 เมตร ก็จะบอกว่ามันอยู่ห่างจากตัวเองแค่ 1 เมตร หรือให้ B เป็นตำแหน่งของต้นไม้ตอน t=2 ต้นไม้จะบอกว่าตัวเองอยู่กับที่หรือ x=0 แต่รถจะบอกว่าต้นไม้อยุ่ที่ –u t =-2 เมตร

หรือถ้าเราเขียนเป็นสัญญาลักษณ์ซะหน่อยก็จะได้เป็น

ในมุมมองของรถ และในลักษณะที่คล้ายๆกันในมุมมองของต้นไม้

เมื่อ u คือความเร็วของของรถที่ต้นไม้เห็น หรือถ้าพูดอีกอย่างคือ –ความเร็วของต้นไม้ที่รถเห็น

และถ้าเรารู้ระยะทางรู้เวลาเราก็สามารถหาความเร็วได้อย่างง่ายดาย โดยการใช้ความรู้พื้นฐานนิดหน่อย(จับดิฟ) ได้เป็น

ซึ่งเมื่อเวลาผ่านไปการพิจารณาแบบนี้ ก็ไปสอดรับกับการเคลื่อนที่ตามกฏของ นิวตันพอดีดังเช่นกฏข้อที่สอง เมื่อเรามีความเร็วและเวลาเราก็จะรู้ความเร่งได้ซึ่งนั้นก็คือ a=a’ จากการจับดิฟทั้งสองข้าง ส่งผลให้ F=ma=ma’=F’ แรงที่ผู้สังเกตวัดได้ก็จะมีค่าเท่ากันหมด

     ดูเหมือนทุกอย่างจะสอดรับกันเป็นอย่างดีไม่เห็นจะมีปัญหาอะไร ไม่เห็นจำเป็นต้องมีไอน์สไตน์มาคิดให้หนักโลกเลย แล้วมันมีอะไรผิดพลาดกันไปตอนไหนละ  ต้องมาดูกันต่อในบทความหน้าแล้วกันนะครับ

ความเดิมตอนที่แล้ว
[Relativity:1]

ขอขอบคุณอย่างมาก: หนังสือเรื่อง Guide to Relativity ของ Tatsu Takeuchi