[Relativity:4] ทางออกที่สดใสจาก Einstein -Lorentz transformation

     มาทบทวนความหลังกันก่อนครับ เราตอนที่แล้วเราจบกันด้วย ปัญหาที่ฟิสิกส์ยุคเก่าทำไว้ เกี่ยวกับความเร็วของแสง และเรื่องตำแหน่ง-เวลาของวัตถุ

     ถ้าเราให้ต้นไม้ รถยนต์ และ แสงเริ่มต้นที่ตำแหน่งเดียวกัน แสงเดินทางไปทุกที่ด้วยความเร็วคงที่ คือ c รถยนต์วิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็ว ครึ่งหนึ่งของแสง ส่วนต้นไม้อยู่กับที่ไม่ได้ไปไหน

     เวลาผ่านไปนิสนึง 1 วินาที ต้นไม้จะบอกว่า อนุภาคแสงจะเดินทางไปได้ c ส่วนรถยนต์จะเดินทางไปได้แค่ครึ่งเดียว คือ c/2 แต่ถ้าเป็นรถยนต์จะบอกว่า แสงห่างจากตัวเองไปแล้ว c ส่วนต้นไม้อยู่ออกไปข้างหนังเป็นระยะ c/2

     /arr  แม้นในเวลาใดๆ ต้นไม้จะบอกว่า รถยนต์อยู่ตรงกลางระหว่างแสงกับต้นไม้เสมอ แต่ในมุมมองของรถเองจะบอกว่า รถจะบอกว่าตัวอยู่ในระยะหนึ่งในสาม ของระยะระหว่างต้นไม้กับแสง คุณคิดว่ามันเป็นไปได้ไหมละที่ 

      วัตถุหนึ่งสิ่งจะอยู่ได้สองที่ ในเวลาเดียวกัน…..??? /kidding

กรอบของต้นไม้

กรอบของรถ

     ไม่ว่าคุณจะเชื่อหรือไม่เชื่อที่ว่า “ของสิ่งเดียวกันจะอยู่ได้สองตำแหน่งต่างกันในเวลาเดียวกันได้” แต่ที่แน่ๆ คือ Einstein ไม่เชื่อด้วย ความเชื่อของเขาคือ “ของสิ่งเดียวกันจะอยู่ได้สองตำแหน่งต่างกันในสองเวลาต่างกัน”

เอ้าพากันงง กันเข้าไป /dizzy

เราดูความคิดของ Einstein ผ่านหนังสือเล่มนึงของเรานั้นคือ Relativity: The Special and the General Theory

Einstein พูดว่า : ถ้าหากอนุภาคแสงสองตัว เคลื่อนที่จากตำแหน่งด้วยกัน ด้วยความเร็วเท่ากันคือ c แต่ต่างกันที่ทิศทาง ตรงข้ามกัน ไม่ว่าระยะเวลาใดๆ ระยะทางที่ทำไปได้จะต้องเท่ากัน

    ในมุมมองของรถจะเห็นอนุภาคที่ตำแหน่ง A และ G ในระยะห่างที่เท่ากัน  และเมื่อแสงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันดังนั้น A และ G จึงต้องอยู่ในเวลาเดียวกันด้วย

   แต่ในมุมมองของ ต้นไม้แล้ว A และ G ไม่ได้อยู่ในเวลาเดียวกัน นั้นคือความหมายของความคิดของ Einstein เวลาของแต่ละคนนั้นไม่ตรงกันซะทีเดียว

   และเราก็จะใช้วิธีเดิมนี้ มาสร้างกรอบการเคลื่อนที่แบบมุมมองรถยนต์ด้วยข้อมูลจากกรอบของต้นไม้ โดยวิธีการกำหนดจุดต่อจุดไปเรื่อยๆ

 เราก็จะมองเห็นกรอบแบบมุมมองของรถยนต์ในที่สุด /fine

      

     C กับ D อยู่ห่างจากรถเท่ากัน เกิดในเวลาเดียวกัน ถัดไปเป็น B กับ E ก็อยู่ห่างจากรถเท่ากันเกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน A กับ F ก็เกิดขึ้นพร้อมกัน

เมื่อเสร็จสิ้น เราจะเรียกการแปลงแบบนี้ว่า Lorentz transformation /grin

ทำให้เราจะต้องเปลี่ยนสมการการแปลงจากเดิม

x, t, v คือ ตำแหน่งของวัตถุ เวลา และความเร็ว จากมุมมองของต้นไม้

x’, t’, v’ คือ ตำแหน่งของวัตถุ เวลา และความเร็ว จากมุมมองของรถ

u คือความเร็วรถ

เป็นสมการใหม่คือ 

(ดูที่มาได้ที่นี่) /ninja

แล้วก็ สิ่งที่คาใจหลายๆคนมานาน คือ ทำไมเราไม่รู้สึกถึงการเปลี่ยนแปลงพวกนี้มาก่อนเลยละ ... /lll

   คำตอบก็คือ พวกนี้มีความแตกต่างกันน้อยมาก ตอนนี้เราพูดถึงความเร็วที่สูง...มากๆ ขนาดครึ่งหนึ่งของความเร็วแสงเราถึงจะพอเห็นความแตกต่าง แต่พออยู่ในความจริงแล้ว คงไม่มีใครจะใช้ชีวิตอยู่ด้วยความเร็วที่ต่างกันขนาดนั้น 

  

  ต่อให้เทียบกันระหว่างคนที่อยู่บนรถไฟ ที่เร็วที่สุดในโลก 300 km/h (สมมุติ) กับคนที่พื้นราบ 0 km/h ความเร็วต่างกัน 300 km/h ถือว่าสูงมากแล้ว แต่เมื่อเทียบกับแสงประมาณ 300000 km/h มันยังต่างกันอีกหลายเท่านัก เวลาของทั้งสองคนนั้นจึงแทบไม่ต่างกันเลย....

/want

กรณีคล้ายเดิมครับ ให้เรามีรถที่วิ่งด้วยความเร็ว c/2 ไปข้างหน้า เท่านั้นยังไม่พอ เราเติมลูกบอล ออมาจากรถ เป็นลูกบอลพิเศษ สีทอง (อิทธิพลจากากรดู Harry Potter)

โดยให้คนบนรถเห็นลูกบอลมีความเร็วคงที่ c/2 คำถามคือ ความเร็วของลูกบอลที่ ต้นไม้จะเห็นคือเท่าไร

     ถ้าเราใช้วิธีแบบ Galilei Transformation ลูกบอลเราก็จะ เคลื่อนไปด้วยความเร็วเท่ากับ c พอดีนั้นหมายความว่า ลูกบอลนี้จะเคลื่อนที่พอดีกับแสงไปตลอด ซึ่งจะขัดแย้งกับคนบนรถที่จะเห็นลูกบอลอยู่ตรงกลางระหว่างรถกับแสง

      เราต้องเปลี่ยนใหม่ สิ่งที่ยึดได้คือ ความเร็วของรถที่ต้นไม้เห็นเป็น c/2 จะทำให้รถอยู่ระหว่าง ต้นไม้กับแสงเสมอ ทำให้เราสามารถลากเส้น สร้างกรอบใหม่ได้โดยให้รถอยู่ตรงกลางระหว่างแสงกับต้นไม้เสมอ ลูกบอลที่ต้นไม้จะเห็นมีระยะห่างเป็น 4/5 ของระยะทางจากต้นไม้ถึงแสง แสดงว่าความเร็วเป็น 4c/5

     ทำให้เรารู้ว่าความเร็วที่เราจะวัดจากกรอบการเคลื่อนที่ ที่เคลื่อนที่ต่างกัน ก็จะมีค่าต่างกัน และความเร็วที่วัดได้ในกรอบที่หนึ่ง นำไปรวมกับความเร็วที่ต่างกันของกรอบ จะมีค่ามากกว่าความเร็วที่กรอบที่สองจะวัดได้

     เท่านั้นมันยังไม่พอ เราลองให้ ลูกบอลของเรายิงลูกศรพิฆาต ออกมาด้วยความเร็วคงที่ c/2 แน่นอนว่าความเร็วลูกศรที่รถจะเห็นคือ 4c/5 ดังตัวอย่างก่อน แต่ความเร็วที่ลูกศรที่ต้นไม้จะวัดได้มีค่าเท่าไรกันแน่ 

     เราก็ใช้วิธีเดิมลองลากเส้นตรงจากต้นไม้ไปยังแสงโดยให้รถอยู่ตรงกลางระหว่างแสงกับต้นไม้ ระยะทางที่ลูกศรไปได้เป็น 13/14 ของระยะที่แสงไปได้ นั้นคือความเร็วของลูกศรเป็น 13c/14 

     ยังไม่ยอมพออีกครับ เราเพิ่มวัตถุอีกชิ้นหนึ่ง(ไม่รู้จะให้เป็นอะไรแล้ว) ให้ลูกศรได้เห็นมันเคลื่อนที่นำไปด้วยความเร็วคงที่ c/2 แล้วความเร็วที่ต้นไม้จะเห็นวัตถุนั้นเคลื่อนที่ไปละคือเท่าไร

     ก็ตอบแบบไม่ขออธิบายอะไรมากเลยแล้วกันว่าเป็น 40c/41 ดูเอาตามภาพและวิธีก่อนๆ

สิ่งที่ต้นไม้เห็นคือ ความของเร็วต่างจากความเร็วของลูกบอลเท่ากับ 4c/5 -c/2 = 3c/10 ความเร็วของลูกบอลต่างจากความเร็วของลูกศรเท่ากับ 13c/14 -4c/5 =9c/70 และความเร็วของวัตถุอีกชิ้นกับลูกศรห่างกันเท่ากับ 40c/41 – 13c/14 =27c/574  ทั้งๆแต่ละวัตถุเห็นอีกวัตถุข้างถัดไปข้างหน้าด้วยความเร็วเท่ากัน c/2 แต่ที่ต้นไม้วัดความเร็วของวัตถุแต่ละชิ้นมีค่าความต่างน้อยลงเรื่อยๆ

          นั้นเป็นเหตุผลที่ทำไม ทฤษฏีของ Newtonหรือ Galilei ใช้กับสิ่งที่ความเร็วสูงไม่ได้จะมี ความเคลื่อนจะออกมาเต็มไปหมด นอกจากนี้ยังความความยุ่งยากให้กับการวัดความเร่งอีกด้วย

     ถ้าเราลองเพิ่มความรถอีกคันเข้ามากลางทาง โดยให้รถคนนั้นวิ่งด้วยความเร็วเท่ากับรถคนแรก ตอนเริ่มต้น แล้วเริ่มความเร็วจนเท่ากับความเร็วของลูกบอล 

คนที่อยู่บนรถคนที่หนึ่งจะเห็นรถคันที่สองเร่งความเร็วจาก 0 ไปถึง c/2 นั้นคือได้เร่งขึ้น c/2

ส่วนต้นไม้จะเห็นรถคนที่สอง เร่งจากความเร็ว c/2 ไปเป็นความเร็ว 4c/5 นั้นคือได้เร่งขึ้น 3c/10

เป็นการสั่นสะเทือนกฎข้อที่สองของนิวตัน เพราะความเร่งที่แต่ละคนวัดได้จะมีค่าไม่เท่ากัน

ขอขอบคุณ: หนังสือเรื่อง Guide to Relativity ของ Tatsu Takeuchi